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Denksport-Aufgabe ... naja, stellen müßte man sie können!
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14.05.19 00:15
Laufboden 

BZF-Master

14.05.19 00:15
Laufboden 

BZF-Master

Denksport-Aufgabe ... naja, stellen müßte man sie können!

Hallo miteinander,

da habe ich im Web - ich sage erstmal lieber nicht wo - eine Denksportaufgabe gefunden. Sie wird dort von einem Physikprofessor gestellt.
Soetwas löse ich auch heute nochmal ganz gern.

Leider gilt hier fast immer:
Das einzig gemeinsame der allermeisten Denksportaufgaben ist, daß ihre Aufgabenstellung so verändert werden muß, daß erstens überhaupt eine und zweitens eine interessante Lösung existiert. Manchmal kann diese Ergänzung sogar vor Nachschlagen ihrer 'Lösung' gefunden werden.
In seltenen Fällen muß zusätzlich die falsche Lösung korrigiert werden. Das ist dann der Fall, wenn die angegebene Lösung prinzipiell unmöglich ist.
Das kommt durchaus vor.

Gut, vermeintlich nebensächliches kann bereits Teil der Aufgabe sein - also das Herausfinden, wie die Aufgabe eigentlich gestellt werden müßte.
Denn manchmal gibt es nur eine einzige Art, die Aufgabenstellung so zu ergänzen, daß eine sinnvolle Aufgabe daraus wird.
Hier ist das aber nicht der Fall.
Der Autor ist offenbar irrtümlicherweise der Meinung, er würde mit dem folgenden Text ein definiertes geometrisches Objekt beschreiben, die eigentliche Aufgabe ist eine andere.
Es ist anzunehmen, daß er völlig unbeleckt von Kenntnissen der Darstellenden Geometrie ist.

Teilaufgabe: Der Pfeiler hat einen quadratischen Querschnitt mit einer Kantenlänge von 32 cm. Der Kopf des Pfeilers ist ein Würfel, der auch eine Kantenlänge von 32 cm hat. Er ist um 45 Grad gedreht und so gekappt, dass er den Pfeiler genau abdeckt.

Nehmen wir, um die Ausgangslage des Würfels vor der Drehung zu definieren, ergänzend an, dieser Würfel sei durch einen dessen Lage nicht verändernden Schnitt durch den Pfeiler entstanden. Nehmen wir zusätzlich an, die Drehachse ginge durch den Mittelpunkt des Würfels. Dann gibt's immer noch ein "kleines" Problem: die beiden symmetrischen - und damit gleichwertigen - Möglichkeiten einer reinen Drehung des Würfels erlauben nicht, daß der Pfeiler überhaupt abgedeckt wird:


Die stille Annahme einer Default-Lage durch einen naiven Aufgabensteller ist also nicht gegeben.
Irgendetwas ist also anders.
"Genau abdecken" sowie "gekappt" können sehr Unterschiedliches bedeuten, hier dürfte die Zusatzannahme "gemeint ist, daß die obere Fläche des Pfeilers voll durch einen einzigen waagrechten Schnitt durch einen irgendwie gedrehtes Teil eines Würfels bedeckt wird".
"Um 45° gedreht" wiederum ist nur dann überhaupt eine Angabe, wenn die Ausgangslage des Würfels beschrieben wird.

1. und Minimallösung der Teilaufgabe: Turm mit nicht überstehendem Giebeldach.
Diese Lösung entspricht voll der Aufgabenstellung, macht die - hier nicht erwähnte - Aufgabe aber zur Witznummer.
Andererseits kann das auch als einzige wesentliche Lösung verstanden werden - dann, wenn mit "genau abdecken" gemeint sein sollte, daß "kappen" genau einen einzigen ebenen Schnitt bedeutet und die Schnittfläche des Würfels exakt mit der oberen Pfeilerfläche übereinstimmt.

2. und erste Maximallösung der Teilaufgabe: genau der andere Abschintt des Würfels, um 90° gedreht, wird verwendet - Turm mit überstehendem Giebeldach.
Auch dies entspricht voll der Aufgabenstellung, ergibt eine definierte Lösung der Gesamtaufgabe.

Es ist möglich, daß der Autor der Denksportaufgabe beide der obigen Alternativen als richtig ansieht, möglicherweise nur die zweite.
Je nach der Bedeutung von "genau abgedeckt" und "gekappt" gibt's auch weitere Möglichkeiten.

3. jeder Schnitt zwischen den beiden Ebenen ergibt eine weitere Lösung (einparametrige Mannigfaltigkeit). Jeder Zwischenwert zwischen 1. und 2. ist möglich

Zu 1. bis 3.:
Es fehlt jeweils ein waagrechter Schnitt durch den so gedrehten Würfel und ein Absenken.

4. Die Drehachse ist völlig undefiniert. Es gibt deshalb auch bei der oben zusätzlich definierten Ausgangslage des Würfels völlig andere mögliche Lösungen der Teilaufgabe.


Fazit: das schwierigste an einer Denksportaufgabe ist meist eine präzise und trotzdem verständliche Formulierung. Wem der dafür nötige Überblick fehlt, sollte das anderen überlassen.
Die Kunst des Lösens von Denksportaufgaben besteht fast immer darin, nicht formulierten, aber unerläßliche Zusatzangaben genauso zu ergänzen, wie das der Autor der Aufgabe sich gedacht, aber nicht formuliert hat.

Meiner Meinung nach ist die einzige Lösung der Aufgabenstellung die folgende:

Begründung: ein Würfel von 32cm Kantenlänge, von dem irgendetwas entfernt wurde, ist entweder kein Würfel von 32cm Kantenlänge, oder kein Würfel. Die ersten beiden Bilder zeigen, daß Drehen um 45° dies ohne weiteres ergeben kann.

Grüße, Laufboden

Zuletzt bearbeitet am 14.05.19 00:42

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14.05.19 00:43
Sammelott 

BZF-Master

14.05.19 00:43
Sammelott 

BZF-Master

Re: Denksport-Aufgabe ... naja, stellen müßte man sie können!

,da stell ich mal folgende Aufgabe , aber erstmal selbst den Kopf zerbrechen und nicht googeln!!!!!!
2 Wächter bewachen 2 Tore , ein Tor führt in die ewige Verdammnis , das andere in die Freiheit.
Von den Wächtern ist bekannt daß einer immer die Wahrheit spricht , der andere hingegen immer lügt!
Allerdings weiß man nicht wer welcher ist!!
Um in die Freiheit zu gelangen hast Du eine einzige Frage an einen einzigen Wächter!
Wie muß diese Frage lauten? Es gibt nur eine richtige Frage.....
Schön formuliert von mir , oder ?

Dies Rätsel habe ich mal vor Internetzeiten in einer Zeitung gefunden und sogar gelöst....


Gruß-OTTI

PS. Ich empfehle bei offenem Fenster zu denken , wegen der Rauchentwicklung im Kopf

Zuletzt bearbeitet am 14.05.19 00:46

14.05.19 06:36
Michael-J. 

BZF-Master

14.05.19 06:36
Michael-J. 

BZF-Master

Re: Denksport-Aufgabe ... naja, stellen müßte man sie können!

Hallo,

Zitieren:
Der Pfeiler hat einen quadratischen Querschnitt mit einer Kantenlänge von 32 cm. Der Kopf des Pfeilers ist ein Würfel, der auch eine Kantenlänge von 32 cm hat. Er ist um 45 Grad gedreht und so gekappt, dass er den Pfeiler genau abdeckt.
Simpel wie ich bin, würde ich annehmen, dass man die Überstände kappt und anderstrum wieder anfügt, so das wieder der der ganze Pfeiler bedeckt ist, dann haben wir wieder einen quadratischen Würfel oben, und die Aufgabe ist gelöst, steht ja nicht da, dass nur einmal gekappt wird, und was mit dem abgetrennten Teilen passieren soll.
Aber stimmt, die Aufgabenstellung ist recht schwammig.
Gruß
Michael

14.05.19 15:35
Laufboden 

BZF-Master

14.05.19 15:35
Laufboden 

BZF-Master

Re: Denksport-Aufgabe ... naja, stellen müßte man sie können!

Hallo Sammelott,

ich schicke voraus, daß ich zu den typischen Mathematikern gehöre - denen, die im Bereich der mathematischen Logik ziemliche Ignoranten sind und meine folgenden Ausführungen deshalb nicht recht ernstzunehmen sind.

Sammelott:
,da stell ich mal folgende Aufgabe , aber erstmal selbst den Kopf zerbrechen und nicht googeln!!!!!!
2 Wächter bewachen 2 Tore , ein Tor führt in die ewige Verdammnis , das andere in die Freiheit.
Von den Wächtern ist bekannt daß einer immer die Wahrheit spricht , der andere hingegen immer lügt!
Allerdings weiß man nicht wer welcher ist!!
Um in die Freiheit zu gelangen hast Du eine einzige Frage an einen einzigen Wächter!
Wie muß diese Frage lauten? Es gibt nur eine richtige Frage.....
Schön formuliert von mir , oder ?
Schön schon, aber einiges vergessen. Und eine falsche Behauptung aufgestellt (siehe gegen Schluß).
Da wird, wie so oft, sehr, sehr viel Undefiniertes als definiert vorausgesetzt.
Z.B.: die Wächter brauchen mitnichten Fragen beantworten.
Sollten sie das trotzdem, braucht die Antwort nicht weiterführend sein, nur wahr bzw. falsch. Sie muß sich gar nicht auf die Frage beziehen. Der Wahrheitswert (WW) muß für den Fragenden nicht beurteilbar sein. Keiner der beiden Wächter muß wissen, was der andere weiß bzw. wie der andere antwortet. "Ist bekannt" kann, muß aber noch nichteinmal bedeuten, daß ein Wächter überhaupt von der Existenz des anderen weiß.

Klar ist nur eines: eine Frage, die eine beurteilbare Antwort ergeben kann, muß denselben WW enthalten, egal, ob W1 oder W2 sie beantwortet. Das ist nur dann möglich, wenn der eine Wächter nach der Antwort des anderen gefragt wird, diese erfolgen muß und nur "ja" oder "nein" lauten kann. Je nach genauer Fragestellung ergäbe das eine Antwort, im einfachsten Fall eine als falsch erkennbare, da einer lügt und einer die Wahrheit sagt.
Etwa der Art "W1, würde W2 mit 'ja' auf die Frage antworten, ob T1 in die Verdammnis führt?". Falls W1 darauf mit "ja" antwortet und W1 ist Lügner, hat W2 mit "nein" die Wahrheit gesagt. Falls jedoch W1 mit "ja" antwortet und er sagt die Wahrheit, hat der Lügner W2 mit "ja" geantwortet - die Lösung ist "nein".
Und umgekehrt.

Über Wahrheit können weder Aussagelogik noch die gesamte Logik etwas aussagen.
Doch die meisten denken bei so einer Aufgabe trotzdem an die klassische Aussagelogik.

Naiv formuliert ist Logik eine darüberstehende Instanz, in der zwei willkürlich als "wahr" und "falsch" bezeichnete Konstanten eingeführt worden sind zusammen mit Variablen, die genau einen dieser beiden Werte annehmen können. Dazu wurden nicht hinterfragbare Regeln aufgestellt, die die Umformungsregeln zwischen unterschiedlichen Darstellungen Desselben definieren. Als "wahr" wird eine Menge von Aussagen bezeichnet, wenn sie sich zur Konstanten "wahr" umformen läßt.

Die Aussagelogik ist als in sich konsistent bewiesen (mehr geht nicht!), aber hier, wenn man's genau nimmt, erstmal nicht anwendbar.
Es gibt jedoch eine "kleine" Erweiterung, die sie bei "leichter" Umformung der Aufgabe doch anwendbar macht.
Diese Erweiterung stammt von Prof. Zemanek, einem DV-Pionier, der hat sie als Gag wohl um 1950 formuliert.
Er hat in seiner Vorlesung erzählt, er habe sich sehr gewundert, als er Jahre später ausgerechnet wegen dieser Arbeit an die Lomonossow-Uni zu einem Vortrag eingeladen wurde.

Es handelt sich um die Einführung und Untersuchung logischer Gleichungen. Er hat herausgefunden, daß diese zunächst sehr bockigen Objekte immer lösbar sind, wenn man zwei weitere logische Konstanten hinzufügt, p und !. p steht für "sowohl wahr als auch falsch", ! für "weder wahr noch falsch".
(Grob vergleichbar ist das mit dem "algebraischen Abschluß", den man durch Einführung komplexer Zahlen erhält).

Durch dieses Ergebnis wird die obige Aufgabe als logisch sauber stellbar erkennbar, falls(!) zugesichert wurde, daß zur Lösung der Aufgabe weder Bewertung von Wahrheit noch Unwahrheit nötig ist, sondern nur das Wissen um die Ungleichheit der Aussagen der beiden Wächter.

Was hilft das bei der vorliegenden Aufgabenstellung?
Eigentlich nichts .
Außer daß so eine Fragestellung als (Un-)Gleichung logisch konsistent formuliert werden kann. Hat sie eine Lösung, kann diese Frage beliebig logisch umgeformt werden - unendlich viele Lösungen
Solange keine weiteren Einschränkungen hinzukommen ...

Wer sagt, das habe er schon vorher gewußt - na gut, der begreift den Unterschied eben nicht ...
... und das ist der Grund, warum Mathematiker den riesigen Aufwand, logisch unanfechtbar zu formulieren, bis heute meist scheuen wie der Teufel das Weihwasser.
Es verbleibt ein unlösbares Problem - "Wahrheit" ist mathematisch nicht definierbar, folglich auslegbar.
Ist der Lügner ein Trickser, definiert er seine Wahrheit so, daß der Frager hereingelegt wird.

Grüße, Laufboden

Zuletzt bearbeitet am 14.05.19 15:46

14.05.19 16:02
Sammelott 

BZF-Master

14.05.19 16:02
Sammelott 

BZF-Master

Re: Denksport-Aufgabe ... naja, stellen müßte man sie können!

Eijeijeijeijei, Herr Laufboden......
Nimm doch einfach die Aufgabe so an wie sie da steht!
Einer lügt immer,der andere sagt immer die Wahrheit!
Beide Wächter wissen daß auch voneinander ,ist sehr wichtig für die korrekte Frage.
Der Fragende muss dies auch wissen!
Und es gibt nur eine zielführende Lösung!!!!!
Die Beantwortung der richtig gestellten Frage kann nicht ja oder nein sein!!
Du denkst glaube ich in die richtige Richtung aber formuliere doch mal die entsprechende Frage an einen der Wächter.....
Und mach bitte keine wissenschaftliche Abhandlung daraus
Und verirre Dich nicht im Raum/Zeit-Kontinium
lG-OTTI

Zuletzt bearbeitet am 14.05.19 16:16

14.05.19 16:14
Laufboden 

BZF-Master

14.05.19 16:14
Laufboden 

BZF-Master

Re: Denksport-Aufgabe ... naja, stellen müßte man sie können!

Hallo miteinander,

ein besonders anschauliches Beispiel des gravierenden Unterschieds zwischen menschlicher und mathematischer Logik gibt's (gab's?) z.B. zu finden als Titelgeschichte in "Logik unterm Galgen" von Martin Gardner ...

Grüße, Laufboden

Zuletzt bearbeitet am 14.05.19 16:15

14.05.19 16:19
Sammelott 

BZF-Master

14.05.19 16:19
Sammelott 

BZF-Master

Re: Denksport-Aufgabe ... naja, stellen müßte man sie können!

Von Paul Watzlawick gabs da auch etwas , die Anleitung zum Unglücklichsein

Gruß-OTTI

14.05.19 19:23
Laufboden 

BZF-Master

14.05.19 19:23
Laufboden 

BZF-Master

Re: Denksport-Aufgabe ... naja, stellen müßte man sie können!

Hallo Sammelott,

Sammelott:
Eijeijeijeijei, Herr Laufboden......
Nimm doch einfach die Aufgabe so an wie sie da steht!
Einer lügt immer,der andere sagt immer die Wahrheit!
Beide Wächter wissen daß auch voneinander ,ist sehr wichtig für die korrekte Frage.
Der Fragende muss dies auch wissen!
Und es gibt nur eine zielführende Lösung!!!!!
Die Beantwortung der richtig gestellten Frage kann nicht ja oder nein sein!!
Du denkst glaube ich in die richtige Richtung aber formuliere doch mal die entsprechende Frage an einen der Wächter.....
Und mach bitte keine wissenschaftliche Abhandlung daraus
Und verirre Dich nicht im Raum/Zeit-Kontinium
lG-OTTI
Diese korrigierte Aufgabenstellung ist immer noch keine logisch sauber gestellte Aufgabe.
Solange das nicht nachgeholt ist, kann es dafür keine überprüfbare Lösung geben.
Inhärent widersprüchlich ist sie nicht, nur unterdefiniert. Denn daß sie durch zusätzliche Festlegungen zu einer logisch konsistenten Aufgabenstellung gemacht werden kann, habe ich in meinem letzten Beitrag gezeigt (was ich ausgelassen habe, ist trivial ergänzbar).

Im übrigen hantierst Du verdächtig viel mit "muß wissen", das läßt arge Zweifel aufkommen - siehe untenstehendes Beispiel.
Jeder meint zwar, zu wissen, was "Wissen" ist, doch aus Sicht der Logik kann das niemand wissen - dieser Begriff ist nicht sinnvoll allgemein modellierbar.
Dieses "Wissen" muß bei der mathematischen Modellierung quasi abgestreift werden.

Eine Aussage, es gäbe nur eine Lösung, kann m.E. nur zweierlei heißen - entweder legt sie fest, was als eindeutige Lösung zu werten ist, oder sie sagt aus, daß es sich um keine handelt, die logisch überprüfbar ist.
Letzteres kann z.B. eintreten, wenn die Antwort selbstreferentiell ist, sich auf Vorherwissen bezieht etc. In so einem Fall mag es Antworten geben, die wie eine Lösung ausschauen, aber keine sind, weil sie nicht konsistent definierbare Begriffe beinhalten.

Beispiel:
A. wurde zum Tode verurteilt.
Am Sonntag erfährt er, er wird spätestens nächsten Sonntag hingerichtet, aber den Tag der Hinrichtung erst an diesem Tag wissen, keinesfalls schon am Tag vorher.
Als logisch denkender Mensch schließt er: nächsten Sonntag kann es nicht sein. da wüßte ich ja am Samstag den Tag. Es muß also spätestens am Samstag sein. Dann wüßte ich aber am Freitag .... Hurra, ich kann nicht hingerichtet werden!
Am nächsten Sonntag morgen kommt der Henker zu ihm und sagt: "Heute wirst Du hingerichtet".
A. konnte das am Vortag aufgrund seiner Überlegungen völlig ausschließen.
Er wußte somit wirklich erst am Hinrichtungstag, daß sein letztes Stündlein geschlagen hatte.

Was war geschehen?
Klar, die Aufgabenstellung enthielt logisch inkonsistente Anteile, die es unmöglich machen, logisch konsistent zu schließen. "Ich weiß, folglich .." kann in der gewählten Form nicht Teil einer widerspruchsfreien Schlußfolgerung sein.
In jedem nicht widerspruchsfreien System ist jede Antwort gleich richtig und gleich falsch zugleich.
Jede Antwort ist also gleich richtig.
Es gibt auch keine widerspruchsarmen Systeme, nur widerspruchsfreie, widerspruchsbehaftete (also falsche) und solche, bei denen man das nicht weiß (das gilt für die meisten Theorien, übrigens auch in der Mathematik).
Sobald gar - wie heute z.B. immer noch in der theoretischen Physik - "unbedeutende Widersprüche" bekannt sind, mögen theoretische Ergebnisse zwar mit Vorsicht bestens nutzbar sein, gleichzeitig können sie völlig falsch sein bzw. in die Irre leiten.
Im übrigen hatte die Mathematik, da sie nicht anders konnte, schon mal ein offenbar in sich logisch widersprüchliches Konstrukt theoretischer Physiker übernommen - inzwischen ist es durch Einführung der Ergodentheorie gelungen, dessen Widersprüche zu beseitigen, verblieben ist, quasi als Zusatzaxiom, die weder beweisbare noch widerlegbare Ergodenhypothese.

Kurz: Logische Schlußfolgerungen sind ohne Einbettung in ein widerspruchsfreies System nur mehr oder weniger plausible Spekulationen.
Insbesondere Mathematikstudenten der ersten Semester werden geradezu überfallen von unlösbaren Widersprüchen, die dort lauern, wo Arglose sich auf logisch sicherem Boden wähnen.
Selbst die meisten der heute noch bekannten Mathematikgenies des 19. Jahrhunderts sind in derartige Fallen getappt.

Glaube mir, als Mathematiker wird man notgedrungen bescheiden in dem, was man selbst zu wissen glaubt.

Grüße, Laufboden

14.05.19 19:48
Sammelott 

BZF-Master

14.05.19 19:48
Sammelott 

BZF-Master

Re: Denksport-Aufgabe ... naja, stellen müßte man sie können!

Hallo Laufboden,versuchs mal ohne mathematischen Ansatz
Ich weiß wirklich nicht was an so einer "einfachen" Aufgabe so schwierig sein soll?
Es ist alles klar definiert! Nenn es halt die Versuchsanordnung!
Und die ist eben so wie ich das schrieb!
Es gibt einen Lügner (Wächter A) , einen Nichtlügner (Wächter B) ein Tor zur Hölle (Tor A) und eins in die Freiheit (TorB).
Du hast eine eine einzige Frage an einen der Beiden Wächter!
WIE MUSS DIESE LAUTEN UM IN DIE FREIHEIT ZU GELANGEN ?
Anstelle Mathematik würde ich mal den sogenannten "gesunden Menschenverstand" bemühen....
Das hier ist jetzt eine willkürliche Benennung von mir und nicht , wie Du wahrscheinlich wieder vermuten wirst, eine korrigierte Fragestellung.
Zur ursprünglichen Fagestellung muss man halt ein wenig selbst abstrahieren...

Gruß-OTTI

Zuletzt bearbeitet am 15.05.19 01:25

14.05.19 22:26
Rainer 

Administrator

14.05.19 22:26
Rainer 

Administrator

Re: Denksport-Aufgabe ... naja, stellen müßte man sie können!

Hallo zusammen,

man kann so oder so über Rätselfragen denken, auch über Logikrätsel...

Was nicht passieren sollte, dass Forumnutzer sich über solche Rätsel "erhitzen"..

Lassen wir doch einfach beide Denksportaufgaben für sich wirken und einfach zur Beantwortung oder Nichtbeantwortung hier reifen.

Ihr bemerkt sicher meine unbeholfenden Bemühungen die Forumbetriebstemperatur auf 23 Grad Celsius zu halten .



Grüße von Haus zu Haus
Rainer (Forumbetreiber)

Analog: Aus Negativ wird Positiv.
Digital: Pixel sind nicht alles, aber ohne Pixel ist alles nichts.
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